序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數學教學案例范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創作。

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關鍵詞：初中數學 教學案例

教學案例是教師在教學過程中，對教學的重點、難點、偶發事件、有意義的、典型的教學事例處理的過程、方法和具體的教學行為與藝術的記敘，以及對該個案記錄的剖析、反思、總結。案例不僅記敘教學行為，還記錄伴隨行為而產生的思想，情感及靈感，反映教師在教學活動中遇到的問題、矛盾、困惑，以及由此而產生的想法、思路、對策等。它既有具體的情節，過程，真實感人，又從教育理論、教學方法、教學藝術的高度進行歸納、總結，悟出其中的育人真諦，予人以啟迪。可以說，教學案例就是關于某個具體教學情景的故事，既有故事發生背景，又有故事發展情節。在敘述這個故事的同時，常常還發表一些自己的看法――點評。所以，一個好的案例，就是一個生動、真實的故事加上精彩的點評。

一、教學案例的特點

1、案例與論文的區別

從文體和表述方式上看，論文是以說理為目的，以議論為主；案例則以記錄為目的，以記敘為主，兼有議論和說明。也就是說，案例是講一個故事，是通過故事說明道理。

從寫作的思路和思維方式來看，論文寫作一般是一種演繹思維，思維的方式是從抽象到具體；案例寫作是一種歸納思維，思維的方式是從具體到抽象。

2、案例與教案、教學設計的區別

教案和教學設計都是事先設想的教學思路，是對準備實施的教學措施的簡要說明；教學案例則是對已經發生的教學過程的反映。一個寫在教之前，一個寫在教之后；一個是預期達到什么目標，一個是結果達到什么水平。教學設計不宜于交流，教學案例適宜于交流。

3、案例與教學實錄的區別

案例與教學實錄的體例比較接近，它們都是對教學情景的描述，但教學實錄是有聞必錄，而案例則是有所選擇的，教學案例是根據目的和功能選擇內容，并且必須有作者的反思（價值判斷或理性思考）。

4、教學案例的特點是：

――真實性：案例必須是在課堂教學中真實發生的事件；

――典型性：必須是包括特殊情境和典型案例問題的故事；

――濃縮性：必須多角度地呈現問題，提供足夠的信息；

――啟發性：必須是經過研究，能夠引起討論，提供分析和反思。

二、數學案例的結構要素

從文章結構上看，數學案例一般包含以下幾個基本的元素。

（1）背景。案例需要向讀者交代故事發生的有關情況：時間、地點、人物、事情的起因等。如介紹一堂課，就有必要說明這堂課是在什么背景情況下上的，是一所重點學校還是普通學校，是一個重點班級還是普通班級，是有經驗的優秀教師還是年青的新教師執教，是經過準備的“公開課”還是平時的“家常課”，等等。背景介紹并不需要面面俱到，重要的是說明故事的發生是否有什么特別的原因或條件。

（2）主題。案例要有一個主題：寫案例首先要考慮我這個案例想反映什么問題，例如是想說明怎樣轉變學困生，還是強調怎樣啟發思維，或者是介紹如何組織小組討論，或是觀察學生的獨立學習情況，等等。或者是一個什么樣的數學任務解決過程和方法，在課程標準中數學任務認知水平的要求怎么樣，在課堂教學中數學任務認知水平的發展怎么樣等等。動筆前都要有一個比較明確的想法。比如學校開展研究性學習活動，不同的研究課題、研究小組、研究階段，會面臨不同的問題、情境、經歷，都有自己的獨特性。寫作時應該從最有收獲、最有啟發的角度切入，選擇并確立主題。

（3）情節。有了主題，寫作時就不會有聞必錄，而要是對原始材料進行篩選。首先需要教師對課堂教學中師生雙方（外顯的和內隱的）活動的清晰感知，然后是有針對性地向讀者交代特定的內容，把關鍵性的細節寫清楚。比如介紹教師如何指導學生掌握學習數學的方法，就要把學生怎么從“不會”到“會”的轉折過程，要把學習發生發展過程的細節寫清楚，要把教師觀察到的學生學習行為，學習行為反映的學生思想、情感、態度寫清楚，或者把小組合作學習的突出情況寫清楚，或者把個別學生獨立學習的典型行為寫清楚。不能把“任務”布置了一番，把“方法”介紹了一番，說到“任務”的完成過程，說到“掌握”的程度就一筆帶過了。

（4）結果。一般來說，教案和教學設計只有設想的措施而沒有實施的結果，教學實錄通常也只記錄教學的過程而不介紹教學的效果；而案例則不僅要說明教學的思路、描述教學的過程，還要交代學生學習的結果，即這種教學措施的即時效果，包括學生的反映和教師的感受等。讀者知道了結果，將有助于加深對整個過程的內涵的了解。

（5）反思。對于案例所反映的主題和內容，包括教育教學指導思想、過程、結果，對其利弊得失，作者要有一定的看法和分析。反思是在記敘基礎上的議論，可以進一步揭示事件的意義和價值。比如同樣是一個學困生轉化的事例，我們可以從社會學、教育學、心理學、學習理論等不同的理論角度切入，揭示成功的原因和科學的規律。反思不一定是理論闡述，也可以是就事論事、有感而發，引起人的共鳴，給人以啟發。

三、初中數學教學案例主題的選擇

新課程理念下的初中數學教學案例，可從以下六方面選擇主題：

（1）體現讓學生動手實踐、自主探究、合作交流的教學方式；

（2）體現教師幫助學生在自主探究、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗；

（3）體現讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，采用“問題情境――建立模型――解釋、應用與拓展”的模式教學的成功經驗；

（4）體現數學與信息技術整合的教學方法；

（5）體現教師在教學過程中的組織者、引導者與合作者的作用；

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關鍵詞：初中數學；教學案例設計；問題分析

教學案例在教學過程中所起的作用是非常重要的，它不但可以對教學過程中的一些重點和難點進行分析和闡述，而且還會對教學行為進行記敘，能夠充分的反應和體現教學過程中的遇到的各種問題。接下來，筆者就對初中數學教學案例設計中可能出現的問題進行如下詳細的分析。

一、教學案例

1.教學案例的涵義。所謂的教學案例就是指對實際具體的教學過程進行描述，包括具體的情境、問題、矛盾等。它是一個具體的教學實踐的過程，描述的是教學過程的一系列事件。

2.教學案例的特點。首先，教學案例與論文相比，在文體和表述上論文是以議論和說理為主的，而案例則是以記錄和敘述為主，同時進行必要的、適當的議論和說明。也就是說，案例是通過對故事的講述，以此來闡述和說明一定的道理。由此可見，無論是從寫作思路和方法上，兩者的區別也是非常大的。

其次，與教案和教學設計相比，教案和教學設計都是在課前就對教學過程進行設計，而教學案例則是對已經發生的教學過程的一種反映。前者是在教學活動之前，后者是在教學過程之后，兩者在時間上存在著一定的差異。除此之外，教學案例比較適合實現師生之間的交流，而教學設計就無法做到這一點。

最后，與教學實錄相比，雖然這兩者比較相似，都是對教學情境進行具體的描述，但是教學實例是有針對的對教學情境進行記錄，必須是作者經過反復的思考的結果。

綜上所述，教學案例最大的特點就是它本身具有真實性、典型性、濃縮性和啟發性，這也是教學案例被廣泛的應用到教學活動最主要的原因之一。

3.教學案例的構成要素。根據初中數學的特點，教學案例的設計一般需要包括如下幾種基本要素：

首先，在背景上應該把事件發生的有關情況，如時間、地點、人物等，都向讀者交代清楚。

其次，要把該案例的主題交代清楚，這也是案例設計中最重要，同時也是最基本的構成要素。在對案例進行設計時，首先要考慮的就是這個案例想要反應的問題是什么，然后再根據這個問題做出一系列的闡述和分析。

再次，在確定主題之后，就要考慮具體的情節，如果說主題是主干，那么情節就是支架，是使主題變得更加豐富的重要因素。例如，把教師在課堂中如何指導學生的方法和手段進行介紹，或者把學生獲取知識的過程進行詳細的記錄等。

最后，對設計方案進行具體的實施，即應用到具體的課堂教學中。在對教學思路進行說明的過程中，教師通過觀察學生們的反應，從而了解到教學案例的結果，這對加深了解整個過程也是有很大的促進作用的。

除此之外，教師還要對這次教學案例的設計，以及具體的實施過程進行必要的反思和總結。在反思的基礎上，對事件進行進一步的揭示和分析。

二、對初中數學教學案例進行設計的必要性和意義

1.促進教師的教學反思。教師在對教學案例進行設計和實施的過程中，也是教師對自己教學的一種檢驗，通過在教學中應用教學案例，教師可以對一些教學問題有一個更加客觀、合理的認識，能夠對這些不足進行總結，從而使教學水平得到提高。

2.推動教學理論的學習和發展。對教學案例進行設計時，一定會與教學理論結合起來。因為只有把教學理論作為最基本的理論支撐，才能計出優秀的教學案例。這對促進教師學習和掌握學習理論也是有很大的幫組的，在一定程度上推動了教學理論的學習和發展。

三、初中數學教學案例的設計策略和方法

根據初中數學新課標的一些要求，在對教學案例進行設計時應該充分的結合初中數學的教學內容、特點和教學目標。只有這樣設計出的教學案例才能符合新課程的具體標準。

1.充分的體現學生的主體性。以往的傳統教學只是側重對知識的灌輸，很少去考慮學生的情感和認知，因此，在對初中數學案例進行設計時一定要充分的體現出學生的主體性。

2.培養學生的自主探究能力。在新課標理念的要求下，培養學生的自主探究能力已經成為當今初中數學教學的主要目標之一。就像著名數學家華羅庚說的那樣，現在很多數學課堂只是把現成的飯拿上桌，而缺少絕提做飯的過程。例如，在學習勾股定理這一節時，教師就應該摒棄以往那種向學生灌輸的教學方法，而是向學生們提出具體的學習目標，讓學生們通過對直角三角形各邊的觀察和計算，從而得出具體的結論。這不但可以激發學生們的學習興趣，使學生們積極的參與到學習活動中，而且對開發和培養他們的自主探究能力也是有很大的促進作用的。

3.培養學生數學的抽象思維 。初中數學最終的教學目標就是培養學生的數學抽象思維，即能夠將實際問題抽象成具體的數學問題，并用相關的數學知識進行解決的能力。一般建議采用：問題情境―建立模型―解釋，應用與拓展等形式的教學案例。

4.促進學生的全面發展。除了要培養學生的自主探究能力外，還要對培養學生的創新能力、自主學習能力和認知能力等進行培養。具備以上幾種能力也是新時期對初中生最基本的要求，是符合當今社會的發展趨勢的。

結束語：

初中數學作為初中課程中最主要的學科之一，因此，如何提高初中數學的教學質量，使學生在中考中取得一個優異的成績也是很多人非常關注的問題。本文通過對教學案例的涵義、特點和組成要素，以及在初中數學教學中應用教學案例的意義和具體策略、方法等，做出了詳細的闡述和說明，希望可以為初中數學教學給予一定的啟示和幫助。

參考文獻：

[1]國家教育委員會基礎教育司，課程教材研究所編．20世紀中國中小學課程標準?教學大綱匯編?數學卷[C]

[2]人民教育出版社中學數學室編．全日制普通初級中學教科書數學(必修)第3冊(上)[M]

[3]呂傳漢，汪秉彝．中小學“數學情境與提出問題”教學的理論基礎及實施策略[J]

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“探索相似三角形的條件”既是全等三角形性質的拓展，也是今后證明線段成比例，研究相似多邊形性質的重要工具，它在工農業生產、測量繪圖和日常生活中有著廣泛的應用。比如我們在測量旗桿的高度時，都要利用相似三角形的判定來解決有關問題。在本課中，學生學習的主要內容是三角形相似的判定定理1及其初步應用。通過本節課的學習，還可培養學生猜想、實驗、證明、探索等能力，對掌握觀察、比較、類比、轉化等思想有重要作用。因此，這節課在本章中占有十分重要的地位。

二、學法分析

《數學課程標準》強調：數學教學是數學活動的教學，是師生之間、生生之間交往互動與共同發展的過程；動手實踐，自主探索，合作交流是孩子學習數學的重要方式；合作交流的學習形式是培養孩子積極參與、自主學習的有效途徑。本節課將以學生看得到、感受得到的基本素材創設問題情境，引導學生活動，并在活動中激發學生認真思考、積極探索，主動獲取數學知識，從而促進學生研究性學習方式的形成，培養學生合作性學習精神。主要采用動手實踐，自主探索與合作交流的學習方法，使學生積極參與教學過程，在教學過程展開思維，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，進一步理解觀察、類比、分析等數學思想方法。

三、教學目標

1、知識與技能：掌握三角形相似的判定，能應用判定解決相關問題。

2、數學思考：在三角形相似的條件的探究過程中，讓學生經歷觀察比較、聯想、分析、歸納、猜想、概括的全過程。

3、解決問題：通過探究三角形相似的條件，使學生形成數形結合的數學思想方法，以及建模能力、創新意識和創新精神。

4、情感態度與價值觀：　在探究活動中，讓學生獲得親自參與研究的情感體驗，從而增強學生學習數學的熱情和團結合作、勇于探索、鍥而不舍的精神。

四、教學重、難點

1、重點：對三角形相似的條件判定的掌握與應用。

2、難點：對三角形相似的條件1的探究。

五、教學過程

（一）動手探索

1.全等三角形的判定方法？判定相似三角形要不要這么多條件呢？假如當條件只有角這個元素時，能不能判定兩個三角形相似呢？

2.若有一個角對應相等，能否判定兩個三角形相似？

結論：只有一個角對應相等，不能判定兩個三角形相似。

3.若有兩個角對應相等，能否判定兩個三角形相似？

課后思考　：若DE與BC不平行，它們還可能相似嗎？說明理由。

（三）隨堂練習：

讓學生暢談自己的感受和體會，老師總結與歸納

六、教學反思

數學課要注重引導學生探索與獲取知識的過程而不單注重學生對知識內容的認識，因為“過程”不僅能引導學生更好地理解知識，還能夠引導學生在活動中思考，更好地感受知識的價值，增強應用數學知識解決問題的意識；感受生活與數學的聯系，獲得“情感、態度、價值觀”方面的體驗。

（1）關注課堂，走近學生

教師在授課時，不能照本宣科，每個學生的家庭背景、生活經驗、數學思維方式各不相同，要深入了解學生，細致入微地觀察學生的內在思想和學習中可能出現的問題和困難。面對有思想的學生，教師要隨機應變，及時調整教學設計方案及教學思路，教師不能以我對知識的理解方式來作為學生接受的理由，不能忽視學生對新知識也有一個分析、理解和吸收的學習過程。教師只有將學生已有的知識、經驗作為教學的出發點，教學才能做到以人的發展為本。

（2）關注學法，重學習過程

新課程提倡在數學學習過程中，引導學生自己去探究，通過學生的親身實踐獲得體驗，讓學生逐步形成善于質疑、樂于探究、努力求知的積極態度。數學教學是數學活動的教學，是師生之間、生生之間交往互動及共同的發展。引導學生有效進行探究、交流、總結等，形成有效的信息通道相，掌握感悟相應的方法和經驗，營造一個學生樂于探索交流和相互學習的良好氛圍。

（3）關注教法，培育學習共同體

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南京師范大學的涂榮豹先生認為，數學教學的目標有三個：一是使學生愛學；二是會學；三是發展學生的認識力。發展學生的認識力，指的就是數學教學要教學生學會思考。

教師在教學過程中，對數學知識的呈現方式存在差異，這種差異對學生獲得數學知識也許影響不大，但對學生數學思維活動的影響，卻可能有很大的差別。

2教學內容說明

向量是刻畫現實世界的重要數學模型，力、速度、位移等都是向量的實際背景，可以用向量加以刻畫和描述。用什么樣的數學模型來刻畫位移、速度、力這樣的量？這個數學模型有什么性質與應用？這就是《平面向量》的中心問題，也是本章的知識學習的固著點。

向量的數量積是在向量的線性運算基礎上學習的一種新的運算，向量的線性運算是封閉性運算，而向量的數量積運算是非封閉性運算，運算的對象是二元的，而運算的結果又是一元的，這種運算的非封閉性對學生的認知造成了很大的失衡。

3教學案例分析

筆者近期聽了兩堂關于“平面向量的數量積”的課，兩位老師的教學過程都分為五個環節：問題情境――抽象模型――辨析模型（內涵、外延）――模型性質（運算律）――數學應用，兩位老師都是以“問題”的形式來推動教學過程。

本文結合其中的環節一和環節四，來探究在教學中如何實現教學生“學會思考”。

3.1環節一問題情境

甲教師：

師：（問題1）向量的運算有向量的加法、減法、數乘，叫做向量的線性運算，那么向量與向量能否“相乘”呢？

生：能。

師：向量與向量“相乘”這種運算怎么定義呢？

生：應該不是線性運算。

師：為什么？

生：老師，向量的加法、減法、數乘，叫做向量的線性運算，向量與向量“相乘”沒有和它們放在一起學，那肯定和它們不一樣了。

師：怎么個不一樣法？

生：……

師：我們是怎么得到向量的線性運算的，它的結果是什么？

生：是通過將實際生活中，物理中的矢量的合成與分解，速度在某時問段的位移抽象出來的，得到的結果還是向量。

師：你想一想，向量與向量“相乘”的結果是什么呢？

生：應該不是向量了。

師：結果不是向量，只能是什么？

生：數……數量……（不是很肯定）

師（點頭）：是數量，我們在實際生活中有這樣的物理背景嗎？

生：做功，力做功的結果就是標量，是一個數。

師：好，我們來分析這個物理背景。看看從求功的運算中可以抽象出什么樣的向量運算？

乙教師：

師：前面我們已經學過的向量、向量的加減法、實數與向量的數乘，向量的加法、減法、向量的數乘我們稱之為向量的線性運算。它們都是對實際問題的刻畫。（附表1）

師：（問題1）向量的線性運算可以刻畫出所有的矢量運算嗎？

生：（思考了一會）不能，不能形容矢量的做功運算。

師：為什么？

生：矢量的做功得到的結果是一個標量，也就是數，而你列舉的三種運算得到的結果都是向量。

師：那怎么辦？

生：應該引入一種新的運算，用這種運算來刻畫力的做功。

師：你準備如何定義這種運算？

生：現在還沒想好，我想我們應該先分析矢量做功這個物理背景，找出這個物理背景中和數學有關的元素。

師：研究數學元素的目的是什么？

生：建立數學的量的關系，就像從力的合成與分解中，得出向量的加法、減法一樣。

師：對，建立物理背景中數學的量的關系就是建立數學模型，下面，請大學先分析做功這個物理背景。

教學意圖

甲教師：從數學知識內部發展的需要引入概念，前面學習了向量的線性運算，接下來就應該學習向量的非線性運算，并根據線性運算的結果，引導學生得出新運算的結果是數，側重數學知識的聯系和對比。

乙教師：從實際問題中抽象出向量的概念及運算（數學模型），然后用數學的方法研究數學模型，最后再運用數學模型去解決實際問題。突出了知識的來龍去脈，有助于學生對數學完整的認識。

案例分析

情境的引入要能體現學習新知識的必要性，學習新知識的必要性一般有兩種情況：一是從數學概念體系的發展過程中引入新概念，也就是從數學的內部出發，在原有知識的基礎上，通過歸納、比較、分析等思維活動，尋找新知識與原有知識的區別與聯系，建立新的知識，甲教師正是采用這一方式引入的；二是從解決實際問題的需要出發引入新概念，原有的知識不能解決新的問題，需要引入新的知識來刻畫，乙教師是采用這種方式引入的。

甲教師的引入雖然體現了新知識與原有知識的聯系，但是學生不能認識到學習向量的數量積的必要性，只是因為前面學過了向量的線性運算，所以今天就要學非線性運算，但是學習這個知識有什么用？非線性運算是怎么來的？這些都是通過老師以設問的方式提出來的，雖然學生也能在老師的引導下去研究，但這是一種停留在數學知識本身的學習，這種學習相對被動，學生被老師牽著走，學生的思維難以得到激發。

乙教師的問題情境能夠讓學生認識到學習向量數量積的必要性，教師的提問不是直接指向數學知識本身，而是通過一系列的元認知提示語，引導學生像數學家一樣思考問題，再現知識的“創造”過程，這個“創造”的過程就是研究數學的一般方法。不僅僅向量可以這樣研究，許多別的知識也可以這樣研究，如函數、指數函數、三角函數、數列等。這種教學不僅教了知識，也教會了學生如何思考。

3.2環節四 向量數量積的運算律

甲教師：

師：我們學習了向量的數量積，下面我們來學習向量的數量積的運算律。

（問題3）實數的運算滿足哪些運算律呢？

生：交換律、結合律、分配律。

師：請同學們類比一下，向量的數量積滿換律、結合律、分配律嗎？

（學生計算、思考）3分鐘后，

生：滿換律，不滿足結合律。

師：滿足分配律嗎？

生：應該滿足吧。

師：為什么滿足分配律，說說理由，你能證明嗎？

生：……

師：好，大家類比一下實數的運算，應該是滿足分配律的。現在大家還不會證明，是因為我們沒有學向量的投影，現在我們來學習向量的投影。

（教師開始介紹向量的投影）

乙教師：

師：我們剛剛學習了一種新的運算――向量的數量積，學習了一種運算后，下一步我們應該研究什么？

生：研究它的性質。

師：哪些性質？

生：是否滿足運算的交換律、結合律、分配律？

師：滿足嗎？

（學生計算、思考）

生：滿換律，不滿足結合律，分配律還不確定。

師：怎么不能確定？

生：不知道怎么證明。

師：那怎么辦？不會證明，就沒辦法知道是否滿足分配律嗎？

生：能不能先用特殊的向量試試看？

師：對啊，你為什么不先試試看呢？

（學生用特殊向量計算、驗證）

生：滿足。

師：為什么滿足？

生：我用好幾個特殊的向量驗證后都滿足了。

師：那不特殊的向量也滿足嗎？你的結論具有一般性嗎？

生：那得證明后才能知道。

師：好，我們下面就來證明這個結論。

教學意圖

甲教師：教師通過設問，引導學生通過類比實數的運算律，證明向量的數量積所滿足的運算律。

乙教師：引導學生回顧學習數學對象的過程，學習數學對象之后，應該學習數學對象的性質，對于在現階段還不能證明的結論，以追問的形式引導學生用猜想、歸納、驗證，最后進行演繹證明。

案例分析

數的運算、向量的線性運算、向量的數量積、矩陣的運算是一個發展趨勢鏈，教學應該從發展的角度理解向量的數量積，引導學生認識到數、向量的運算聯系，也為今后引入矩陣及其運算做了鋪墊。

兩位教師都能通過類比實數，學習向量數量積的運算律。甲教師是直接讓學生去比較，乙教師則是引導學生經歷“新的數學對象――對象的性質――（若可以進行運算）――運算法則”這一過程，這也是概念系統的建立過程，在這個過程中，學生能體會到研究數學的通法，這種教學就能促進學生主動地思考如何去研究數學對象。

當學生遇到困難，不會證明向量數量積的分配律時，甲教師是直接進行下一階段的學習，通過補充新的知識來加以證明。乙教師則是引導學生從特殊到一般，先猜想、再驗證、最后證明，這個過程也是數學新知識的發現過程，數學中的許多定理、結論都是這樣發現的，如費馬定理、龐加萊猜想、希爾伯特問題等，數學家們通過直覺思維猜想某個定理，再通過一些特殊的例子加以驗證，最后以嚴密的方法進行邏輯證明。

當然，學生的發現與數學家的發現是不同的，學生是在教師引導下對知識的“再發現”，這種“再發現”可以幫助學生學會思考，思考解決問題的策略，乙教師的教學能引導學生經歷這種“再發現”的過程。

4結束語

數學是思維的科學，數學的發展蘊含著豐富的思想方法，學生學習數學，不僅僅要學數學知識本身，還要學會像數學家一樣思考。

篇(5)

【關鍵詞】尺規作圖 四則運算 數域

假設現在有一個平面，已知這個平面上的兩點AB，并且已知它的長度是1。假設你手上還有一把沒有刻度的直尺和一個圓規，請證明：

（1）你可以在有限步內做出任意長度為正整數的線段；

（2）你可以在有限步內做出任意長度為有理數的線段。

為了進一步明確題意，在此列出所有你可以做的事情：

①可以把一條已知線段延長成為一條直線，

②只能以已知點為圓心作圓，

③只能以已知某兩點之間的距離為半徑長度作圓，

④在你所做的線段，直線或者圓上取出你想要的任何一個點（進而你可以取出它們相互之間的交點），取出后都視為已知點。

解答（1）以B為圓心，長度1（已知線段AB的長度就是1）為半徑作圓；利用直尺做出直線AB；取得直線和圓異于A的交點C，于是得到已知點C，并且2也是已知長度（AC長度是2）；以C為圓心，長度1為半徑作圓，取得它與直線AB異于B的交點D，于是得到已知點D，并且3也是已知長度。不斷重復這個步驟，在有限步內一定可以做出任意長度為正整數的線段

（2）對于任意的有理數 ，由 （1），我們可以在直線AB上取得四個已知點PQRS，使得PQ長度為p，QR長度為1，QS長度為q；以已知點Q為圓心，已知長度q為半徑長度作圓，取出這個圓上任意一個不在直線AB上的點T，得到已知點T；由于尺規可以在有限步內做出任意線段的垂直平分線，于是我們做出PT和TR的垂直平分線，取得它們的交點O作為已知點；以O為圓心，已知點OP之間的距離為半徑長度作圓；利用直尺做出直線QT；取得直線QT與圓異于T的交點U，于是得到已知點U，并且QU長度即為 。

小結（1）關于讀題，本題的讀題關鍵是讀懂“有限步內”。本題最容易出現的一類讀題錯誤就是：對于AB（長為1），以B為圓心，AB為半徑作圓，圓上所有點與A的距離的取值范圍是0到2，于是就認為長度為0到2之間所有實數的線段都可以做出來了。如果你是這樣認為，請你想想，以 為例，圓上確實有一個點，它到A的距離是 ，問題是你怎么在有限步內把它找到？

（2）本題的解法其實就來源于對于四則運算最樸實的認識，在最開始人們只知道做加法的時候，人們拿著數0和1通過加法就做出了所有正整數（第一問就是考察這個），同一個正整數不停地重復和它自己相加于是得到了乘法的定義。對于a，b，人們不會直接作減法，但是人們思考什么數c會滿足a+c=b，于是就產生減法的定義，并且產生所謂“負”的概念，正整數被擴展到全體整體。除法也是一樣的，對于a，b，人們是通過尋找c，使得ac=b才定義了除法。這就是為什么人們把減法叫做加法的逆運算，把除法叫做乘法的逆運算。

（3）解方程a+x=b，我們真正做的事情是尋找一個c，使得a+c=0，方程兩邊同時加上c，就得到解是x=b+c，實際上c就是a的“負元素”，即（-a），上述工作實際就是減法；解方程ax=b（a 不為0），我們真正做的事情是尋找一個元素c，使得ac=1，方程兩邊同乘c，于是得到解是x=bc。不要覺得這樣的認識沒有意義，有的時候加法和乘法運算你可以一目了然，但是除法就不一定了，比如在模p的意義下看除法 ，仔細想想這個時候除法是怎么定義的，你就會知道這樣的認識是必要的。

（4）進一步介紹四則運算封閉的定義，以及數環和數域的概念。集合S對加法封閉是指：對于S中任兩個數a，b，a+b也在S中（減，乘，除封閉的定義類似可得）。對于加減乘封閉的數集稱為環，對于加減乘除都封閉的數集稱為數域，比如整數集就是一個環（又叫整數環），有理數集就是一個數域。為了避免空集的干擾，我們定義數環和數域都要求0，1是其元素。我們這道題就模擬了一個有理數域產生的過程，本題說明了所有能夠做出的長度組成一個數域，也說明了有理數域是最小的數域（補充說一句最大的數域是復數域）

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【關鍵詞】初中數學；案例教學；步驟分析

案例教學是初中數學教學課堂中經常運用的一種教學方法，而在初中數學教學中，采用案例分析，能夠舉一反三地分析與知識點相關的其他案例，也能夠使案例中某些知識點的運用進行詳細講解，似與手把手教育學生運用知識點一樣，使學生在案例教學中能夠一步一步的追隨教師的腳印，認真的學習知識，從而使學生的學習效率與教師的教學質量得到提高。

一、對初中數學案例教學的步驟分析

1.制定教學案例

在初中數學教學之初，教師應該有針對性的對案例進行教學備課，像對于初中數學而言，由于知識點較多，而且知識點之間都會有相應的聯系，其中錯綜復雜的關系，致使教師在進行案例的教學備課時，應該選擇一些簡單的有針對性的案例來作為教學的主要內容，再對其知識點進行相對應的教學。比如，對一元一次函數進行教學，需要進行知識點的案例教學的有：一元一次函數的表示方法、變量之間的取值與其性質等知識點，對于這些知識點的教學，教師可以使用一個案例，把知識點歸結于一個案例中進行教學。舉一個具體的實例來看，像y=kx+b這樣的一次函數，可以作為教師案例進行教學分析，一次函數的圖像可以從k、b的正負值判斷，同樣的，此函數的值的范圍，也可以通過這兩個系數進行判斷。相應的，通過對一元一次函數的案例分析，也可以對正比例函數、反比例函數與二元一次函數進行相對應的拓展性的教學分析，使教學案例得到充分的利用。教師不僅要在教學知識點之初，對知識點進行案例備課，在學生解題的過程中也需要對復雜的案例進行分析備課，因為學生在解題的過程中，不是簡單對一個知識進行解答，而是對一些知識進行整體的運用，而這樣的做題方式，常常使用在題目中，主要是考核學生是否能夠靈活的運用數學知識，因此，教師應該對一些難度系數比較高的教學案例進行分析，而如何制定這些教學案例呢？教師應該選擇一些學生常錯的題型，或者是學生在做題時，常出現問題的地方，進行重點的案例教學，而這樣針對班級中存在的數學問題，進行初中數學教學案例備課的方法，可以使學生一步步的進步。

2.對教學案例進行課堂講解

對初中數學知識點進行課堂案例教學，無外乎聽講式的教學模式，還有視頻教學。采用聽講式的教學方法，一直是使用于初中教學課堂中，但如果學生長期處在這樣的教學模式下，學生的思維開始變得麻木，而采用視頻教學就不一樣了，采用視頻教學不僅能激發學生的好奇心，也能吸引了學生的眼球，而且在教學的過程中，采用一些制作中的聲音，能夠及時敲醒學生短路的思維，使學生能夠跟隨教師的腳步走，在不知不覺中，深入案例教學中。同時，這樣的教學方法，能夠為教師教學帶來不少便利，也能夠帶給學生不少便利，教師可以通過拷貝文件給學生，使學生能夠隨時隨地的進行案例教學的聽講，加深學生對案例的映象，使視頻教學中的案例教學能夠充分的利用起來。

3.布置相應的案例題目

鞏固與學習是教學中必不可少的步驟，教師在教學案例之后，對學生應該進行教學知識的鞏固，最好的鞏固方法就是給學生布置相應的作業。像在教學全角三角形的判定定理的時候，由于全角三角形在判定的過程中，需要運用三種判定定理，未免學生對這三種判定定理混淆，需要在平時的作業中，加強練習。同時教師在布置作業的時候，應該根據題目的難易程度進行均勻分配，最好是在學生對知識點熟練之后，給學生相應的布置幾個擴展性的題目，讓學生對知識點，進行深度的思考。

二、初中數學案例教學的意義

初中數學案例教學已經成為初中數學教學中的一個主打教學模式，因為在這樣的教學模式下，教師的教學質量在不斷的提升，學生的學習效率也在增高。而初中數學案例教學，主要存在于課堂教學與作業練習中，教師在視頻課堂教學中使用案例教學時，既能夠激發學生學習數學的興趣，也能夠方便教師進行有效的課堂紀律管理，學生在視頻教學中，也是針對性的對某些案例進行鞏固的學習，加深學生對知識點的映象，同時案例教學存在于作業練習中，使學生的數學思維能夠在練習中得到鞏固，因此，初中數學案例教學不管從什么方面，都是使教學質量在不斷上升，由此可見，在初中數學教學中，使用案例教學的重要性。

結語

本文通過對初中數學案例教學步驟的分析，可以得出結論，案例教學存在于課堂教學中與課外教學中，使學生不管在課外還是課內，都能夠通過案例教學學習到新的知識點，鞏固新的知識點，同時在案例教學的不斷深入中，不斷培養學生的數學頭腦，而且通過對初中數學案例教學的意義分析，也能得出初中數學案例教學的重要性，致使在初中數學教學中不能放棄對這種教學方法的使用。

【參考文獻】

[1]朱利紅.淺析初中數學課案例教學法優化運用[J].讀與寫•下旬刊，2016.

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關鍵詞：高等數學；可視化教學案例；數學軟件

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）09-316-01

高等數學是高等學校理工科學生最重要的基礎課程之一，它一方面為學習后續課程和現代化科技知識提供必要的教學工具，另一方面也是對學生抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、分析和解決實際問題能力進行綜合培養的關鍵課程。因此，高等數學的教學顯得尤為重要。

傳統的教學模式是教師在課堂上講，用粉筆在黑板上進行演算和推導，學生在底下聽課作筆記。這種教學模式，加上高等數學這門課的枯燥、抽象，使得許多學生學習積極性不高，主觀能動性不強。課堂教學的單一化、程式化已經成為啟發學生思維、培養學生素質的絆腳石。因此，如何優化教學模式、提高教學效率成為擺在廣大教育工作者面前的課題。隨著數學軟件技術的發展，可視化教學成為提高高等數學教學效率的一條有效途徑，通過在課堂教學中構建可視化的教學案例，讓數學思維和理論“可視化”，從而加深對概念和理論的理解，增強應用理論解決問題的能力，增強教學和學習效果。

一、可視化教學案例

1、函數的極限

重要極限之一 是高等數學的重要內容，其證明過程相對復雜，許多學生僅僅從理性上認識其證明過程。但利用matlab作出其函數圖像（如圖1），就可以讓學生更加深入直觀地了解這個極限的趨近過程。

2、函數的漸近線

函數的漸近線的求法是轉化為求函數的極限，但對于這個過程，學生單憑抽象思維理解較困難。但如果給出這復雜函數曲線的直觀圖形，學生就可以很直觀的看出函數的漸近線。例如，利用matlab，分別給出了函數 和 的圖像在圖1和圖2中，由此清楚地看到函數的漸近線如圖中直線所示。

3、曲面作圖

在學習空間解析幾何時，由于其抽象性、復雜性，很多學生學習起來比較困難。尤其對一些曲面作圖，感到很吃力。教師上課時，畫的圖有時也可能立體感不強，導致學生理解起來比較困難。此時，借助于數學軟件，可以非常直觀、立體地展現曲線曲面，讓學生更具體、更形象地了解這些曲線曲面。比如，在學習空間直線和曲面的參數方程時，根據理論知識，由空間直線 繞 軸旋轉一周時，得到一個單葉雙曲面 。但對此過程，大部分學生覺得很困惑，一條直線繞軸旋轉一周怎么會得到一個單葉雙曲面呢。此時，可以利用matlab將此曲面畫出，如圖3所示，再聯系到前面講到用截痕法分析單葉雙曲面的截痕剛好有兩條直線，由此就可以讓學生解開困惑。

二、結束語

通過借助數學軟件，設計的幾個可視化教學案例，可以在教學過程中直觀、形象地將抽象的數學概念和理論展現出來，從而在一定程度上起到增強教學和學習效果的作用。但也要注意到借助于數學軟件的可視化教學只是實施高等數學教學的一種手段，不能丟掉高等數學最精彩的部分，演算和推導。因此，在高等數學的教學中，一方面，傳統的黑板板書教學模式不能丟，另一方面，要結合其它一些有效的教學手段（如可視化教學）來取得更好的教學效果。

參考文獻：

[1] 杜 瑩.高等數學教育的現狀及改革分析[J].科教導刊，2014.83：82-83.

[2] 劉雄偉 李建平 王 曉.高等數學可視化實驗教學案例的研究與實現 [J].中國教育技術裝備：2012.30：114-116.

[3] 張 萸 張敬華.Matlab動畫演示教學 [J]. 福建電腦：2008（6）：212.