序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇高等函數(shù)的概念范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；一致性；連續(xù)性；函數(shù)

一、高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性的基本概念

高等數(shù)學(xué)中的一致連續(xù)性是從函數(shù)連續(xù)的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個微小變化的界限區(qū)間，如果函數(shù)定義域以內(nèi)的任意兩點間的距離永遠不超過這個界限范圍，則這兩點相對應(yīng)的函數(shù)值之差就能夠達到任意小、無限小，這就是所謂的函數(shù)一致連續(xù)性概念。一直以來，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)的概念都是教學(xué)過程中的重點，也是難點之一，在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐過程中，筆者深刻感受到學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)一致連續(xù)概念時的疑惑和困難。甚至有不少學(xué)生會有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別究竟體現(xiàn)在哪里？

帶著上述問題，我們對函數(shù)一致連續(xù)性進行研究和分析。函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的一個重要的特征和性質(zhì)，它標(biāo)志著一個連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”現(xiàn)象，并對其連續(xù)性進行歸納總結(jié)。函數(shù)一致連續(xù)性，要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點都保持著連續(xù)的特點，不允許出現(xiàn)“突變”現(xiàn)象，同時還進一步要求它在區(qū)間上所有點鄰近有大體上呈現(xiàn)均勻變化的趨勢。換句話說，函數(shù)一致連續(xù)性的定義為：對于任給定的正數(shù)ε，要求存在一個與自變量x無關(guān)的正數(shù)δ，使對自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意2個值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數(shù)一致連續(xù)性的條件要比函數(shù)連續(xù)的條件強。在目前采用的高等數(shù)學(xué)的教材中，只是給出一致連續(xù)的基本定義，以及利用該定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，進而呈現(xiàn)出了函數(shù)一致連續(xù)的完美邏輯結(jié)果。這種教學(xué)理念是很好的，但是，從實踐教學(xué)效果上看，又很不利于學(xué)生對定義的理解，尤其不利于學(xué)生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學(xué)工作者將函數(shù)一致連續(xù)性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學(xué)生更快更好地充分理解一致連續(xù)的概念和意義。高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的基本定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對ε＞0，對于每一點x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。該定義說明了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)的基本特征。函數(shù)一致連續(xù)的基本概念是：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。要特別注意的是，連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，現(xiàn)將函數(shù)函數(shù)不一致連續(xù)的概念進行一下描述：存在某個ε0，無論δ 是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數(shù)不一致連續(xù)的概念，理解和學(xué)習(xí)函數(shù)不一致連續(xù)的相關(guān)知識，有利于我們更好地學(xué)習(xí)和研究函數(shù)一致連續(xù)性問題。

二、高等數(shù)學(xué)引入一致性連續(xù)性的意義和價值

高等數(shù)學(xué)教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性，以及函數(shù)列的收斂性與一致收斂性等，都是初學(xué)者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點問題。在工程數(shù)學(xué)中，這些概念非常重要，筆者認為，搞清楚和弄明白函數(shù)的一致連續(xù)的基本概念，以及掌握判斷函數(shù)是否具有一致連續(xù)特性的基本方法，無疑都將是理工科學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性理論知識的核心環(huán)節(jié)，也是日后成熟運用該數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)和前提。通過學(xué)習(xí)和比較，我們能夠得出一個很明顯的結(jié)論：一致連續(xù)要比連續(xù)條件強。高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)是一個很重要的概念，在微積分學(xué)以及其他工程學(xué)科中常常會用到一致連續(xù)的知識，而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切的相互關(guān)系。實際上，我們在進行函數(shù)列的收斂問題研究時，常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂等概念及其關(guān)系。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點問題，證明某一個函數(shù)是否具有一致連續(xù)性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學(xué)感到無從下手。為了解決這一難點，達到化抽象為簡單的教學(xué)目的，筆者建議給出一致連續(xù)性的幾種常見等價形式，能夠很好地幫助學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)更易于理解和掌握函數(shù)一致連續(xù)性這一知識要點。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點，也是教學(xué)大綱中的重點。因此，牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論知識，對于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。

函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義非常非常重要。數(shù)學(xué)分析抽象而且復(fù)雜難懂，這門學(xué)科本身就有著極強的邏輯思維和嚴(yán)密特征，主要體現(xiàn)在它能夠采用最簡明的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確表述其他語言無法量化的復(fù)雜多變的事物發(fā)展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態(tài)發(fā)展過程。其幾何意義將在高等數(shù)學(xué)課程入門中起到一個有利引導(dǎo)作用，清晰明朗地向?qū)W生展示高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法和思維方式，幫助學(xué)生理解抽象概念，提高學(xué)生培養(yǎng)自身的創(chuàng)新思維能力。另外，探討函數(shù)一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系，同時在有界區(qū)間上給出一致連續(xù)和一致收斂的等價關(guān)系，有利于學(xué)生在今后研究連續(xù)、收斂問題中擁有更多的參考依據(jù)。

三、解決高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的對策

1.一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性

由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù) 是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡單的判別法。

定理1 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。

這個定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊中，運用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來證明。

分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實質(zhì)知，要證 在 上一致連續(xù)，即是要證對 ，可以分區(qū)間 成有限多個小區(qū)間，使得 在每一小區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值之差都小于 。

證明：若上述事實不成立，則至少存在一個 ，使得區(qū)間 不能按上述要求分成有限多個小區(qū)間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區(qū)間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續(xù)下去，就得到一個閉區(qū)間套 ，n=1，2，…，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點c滿足

（2-13）

且屬于所有這些閉區(qū)間，所以 ，從而 在點 連續(xù)，于是 ，當(dāng)時，就有

。（2-14）

又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點 ，都有 。因此，對于 上的任意兩點 ，由（2-14）都有 。（2-15）

這表明 能按要求那樣分為有限多個小區(qū)間，這和區(qū)間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區(qū)間不成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對于有限開區(qū)間，這時端點可能成為破壞一致連續(xù)性的點；（2）對于無限區(qū)間，這時函數(shù)在無窮遠處也可能破壞一致連續(xù)性。

定理2函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)，且 與 都存在。

證明：若 在 內(nèi)一致連續(xù)，則對 ，當(dāng) 時，有

，（2-16）

于是當(dāng) 時，有

。（2-17）

根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續(xù)， 與 都存在。

若 在 連續(xù)，且 和 都存在，則

令（2-18）

于是有 在閉區(qū)間 上連續(xù)，由Contor定理， 在 上一致連續(xù)，從而 在 內(nèi)一致連續(xù)。

根據(jù)定理2容易得以下推論：

推論1 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。

推論2 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。

當(dāng) 是無限區(qū)間時，條件是充分不必要的。

2.一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性

定理3 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 都存在。

證明：（1）先證 在 上一致連續(xù)。

令 ，由柯西收斂準(zhǔn)則有對 使對 ，有

。 （2-19）

現(xiàn)將 分為兩個重疊區(qū)間 和 ，因為 在 上一致連續(xù)，從而對上述 ，使 ，且 時，有

。 （2-20）

對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有

。 （2-21）

所以函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。

（2）同理可證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。

由（1）、（2）可得 在 內(nèi)一致連續(xù)。

若將 分為 和 ，則當(dāng) 與 分別在兩個區(qū)間時，即使有 ，卻不能馬上得出 的結(jié)論。

由定理3還容易得出以下推論：

推論3 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。

推論4 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。

推論5 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。

推論6 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。

參考文獻：

[1]王大榮，艾素梅；分段函數(shù)在分段點處的求導(dǎo)方法芻議[J]；滄州師范專科學(xué)校學(xué)報；2005年03期

[2]袁文俊；鄧小成；戚建明；；極限的求導(dǎo)剝離法則[J]；廣州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）；2006年03期

篇(2)

    學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力,高等數(shù)學(xué)是各高校的理工農(nóng)林等專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課。在高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)、關(guān)鍵、貫穿作用的是數(shù)學(xué)概念。每個數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解題能力的前提。數(shù)學(xué)概念的簡潔、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c導(dǎo)致很多學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有畏懼感,感覺抽象、枯燥,乏味。在有限的學(xué)時內(nèi),讓學(xué)生正確理解概念,教師舉例說明是直觀的,可以減少學(xué)生學(xué)習(xí)活動的盲目性。逆向思維可以打破學(xué)生的定向思維,使其從多層次、多角度理解概念,進而深入的掌握知識,大大的開拓視野。利用反例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中起著畫龍點睛的作用。

    分段函數(shù)是指在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子表示的一個函數(shù)。分段函數(shù)在每段內(nèi)對應(yīng)的解析式是初等函數(shù),在分段點處的特性往往會發(fā)生很大的異常,這也是用作反例的重要價值。本文主要將一元分段函數(shù)作為反例,在高等數(shù)學(xué)中學(xué)生不易理解或者易混淆的幾個重要概念中進行應(yīng)用。

    1 初等函數(shù)與分段函數(shù)

    由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復(fù)合運算而形成的并可用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。由于分段函數(shù)是由幾個式子表示的函數(shù),有些老師講解初等函數(shù)的概念時,只強調(diào)初等函數(shù)用一個式子表示,輕易地得出分段函數(shù)非初等函數(shù)的結(jié)論。事實上并非所有的分段函數(shù)都不是初等函數(shù)。

    例如,函數(shù)y=3x+2,x?叟0x+2,x<0為分段函數(shù),但是該函數(shù)可以用y=2x+■+2一個式子表示,顯示該分段函數(shù)是初等函數(shù)。其實分段函數(shù)在滿足一定條件下是初等函數(shù),可參考文獻[2]。通過此分段函數(shù)例子可以加深學(xué)生對分段函數(shù)和初等函數(shù)概念的理解,并且擴大學(xué)生的思維。

    2 有界函數(shù)與函數(shù)值

    若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)有界,則稱f(x)在區(qū)間I內(nèi)為有界函數(shù)。初學(xué)有界函數(shù)概念的學(xué)生易與有限的函數(shù)值混淆。事實上函數(shù)有界是函數(shù)在研究區(qū)間整體的一個性質(zhì),函數(shù)值是某點按照對應(yīng)法則計算的結(jié)果,這兩個概念是整體和局部上的區(qū)別。

    例如,分段函數(shù)f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0點的函數(shù)值為有限值■,但是對任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,從而知函數(shù)f(x)為無界函數(shù)。

    3 函數(shù)極限與函數(shù)值

    如果在xa的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地接近于常數(shù)A,則稱數(shù)A是函數(shù)f(x)在點a的極限。初學(xué)函數(shù)極限的學(xué)生易想當(dāng)然的認為函數(shù)的極限就是函數(shù)在點a處的函數(shù)值。事實上函數(shù)在點a處極限值的存在與該點處函數(shù)值無關(guān)。

    例如,已知函數(shù)f(x)=■,x≠25,x=2,極限■f(x)=

    ■■=■(x+2)=4,而在x=2處的函數(shù)值f(x)=5≠4。

    4 無窮大與無界函數(shù)

    若對于任意給定的不論多么大的正數(shù)M,總存在δ>0,當(dāng)0<x-a<δ時,有f(x)>M成立,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)xa時為無窮大。初學(xué)者常錯誤的將無窮大等價為無界函數(shù)。事實上無窮大是在研究范圍內(nèi)為無界函數(shù),但反之不一定成立。無界是指自變量在定義域內(nèi),函數(shù)值沒有界限,但是可能并沒有一個趨勢。無窮大是在自變量的某個變化過程中有確定的趨勢。

    例如,已知數(shù)列函數(shù)f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k為整數(shù)。顯然它是一個無界數(shù)列函數(shù),但當(dāng)n+∞時,它不是無窮大,因為奇數(shù)子列是收斂的,極限值為0。

    5 原函數(shù)和可積

    若f(x)在閉區(qū)間I上有原函數(shù),很多學(xué)生就認為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上可積。這是因為他們將原函數(shù)和可積兩者認為等價的。事實上,函數(shù)具有原函數(shù)和可積不是充要條件。

篇(3)

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；反例；應(yīng)用

中圖分類號：O13

1， 反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

高等數(shù)學(xué)的反例是指符合某一個命題的條件，但又和此命題結(jié)論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴(yán)密的證明，錯誤的命題則靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

關(guān)于二元函數(shù)的極限的概念，現(xiàn)在的描述性定義盡管比過去的“ ”定義簡單，但 是表示點 以任何方式接近于點 ，所以在討論極限是否存在時，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計算的極限值不同，既可說明極限不存在。

例 討論二元函數(shù)

是否存在極限？

解 當(dāng)點 沿直線 趨于點 時，有

，當(dāng)點 沿直線 趨于點 時，有 。可見沿不同路徑函數(shù)趨于不同值，該函數(shù)的極限不存在。又

同理可得 ，二元函數(shù)在一點不連續(xù)，但其偏導(dǎo)數(shù)卻存在。但對于一元函數(shù)是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對定理條件和結(jié)論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學(xué)習(xí)難點。而反例使學(xué)生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數(shù)學(xué)的基本定理。拉格朗日定理是微積分的基本定理，關(guān)于它的學(xué)習(xí)，一般先介紹定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少薦在一點 ，使得

成立），再結(jié)合圖形給予證明。對給定的具體函數(shù)，要求能夠判斷其是否在所給區(qū)間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的 。

1.3 有助于錯誤命題的有效糾正

在一元函數(shù)中有兩個重要結(jié)論。一是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；二是若f （x）在某某區(qū)間（a， b）內(nèi)只有一個駐點 ，而且從實際問題本身又能夠知道f （x）在該區(qū)間內(nèi)必定有最大值或最小值.則 就是所要求的最大值或者最小值。按照常規(guī)的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數(shù)。

2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強反例思想的滲透，能夠強化學(xué)生對一些基本概念和定理的學(xué)習(xí)和理解，并能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進一步提高教學(xué)效果。

2.1 恰當(dāng)構(gòu)造反例，加深對概念的理解

理解概念是學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是其能力培養(yǎng)的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認識，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)的極限概念教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，會得到事半功倍的效果。在極限概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生認為：①有界函數(shù)的極限一定存在；

②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述兩種想法都是錯誤的.對于①構(gòu)造反例

因為當(dāng) 時， 不能無限接近于一個確定的常數(shù) ，所以，極限 不存在，對于②構(gòu)造反例 ，

2.2正確應(yīng)用反例，加深對定理的理解

定理教學(xué)中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴(yán)密的證明才能夠肯定一個命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個命題的正確性。

在高等數(shù)學(xué)的定理教學(xué)中，正確地應(yīng)用反例，能夠全面地理解定理的條件和結(jié)論，更好地應(yīng)用定理解決問題。關(guān)于羅爾定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)；. 。則在（（a，b）內(nèi)至少存在一點 ，使得 成立）的教學(xué)，因為它只是拉格朗日的特例，一般是結(jié)合圖形給予說明，不做重點講解。但能夠應(yīng)用反例加深對定理的理解，說明羅爾定理的三個條件是使 成立的充分條件，而不是必要條件。

2.3 有效利用反例，糾正習(xí)題中的錯誤

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要解題，在解題中要鼓勵學(xué)生從多方面進行思考，多角度進行探索，挖掘新思路：鼓勵學(xué)生去聯(lián)想發(fā)揮，改變條件，對習(xí)題進行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時間內(nèi)，較直觀地反映出錯誤所在，而且，由此往往能產(chǎn)生正確的途徑。

“反例”揭示了數(shù)學(xué)上這種“失之毫厘，差之千里”的特點，達到了教學(xué)中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。所以，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣大教師應(yīng)重視和恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例。

參考文獻

[1]吳里波.淺談高等數(shù)學(xué)課中微分中值定理教學(xué)方法一反例教學(xué)法.思茅師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2012（3）.

篇(4)

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 極限

【中圖分類號】G642【文獻標(biāo)識碼】A【文章編號】1006－9682（2009）01－0071－01

高等數(shù)學(xué)的基本研究對象是函數(shù)，而研究函數(shù)的基本方法是極限，極限的概念是個比較抽象的概念。對于那些從初等數(shù)學(xué)進入高等數(shù)學(xué)的高職高專學(xué)生而言，不論從知識結(jié)構(gòu)方面，還是從思維方式上來講，都要有一個本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。為了更好的實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)變，就要求我們教師必須把要教的知識內(nèi)容進行必要的加工，按照學(xué)生的實際情況逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上正確的分析思維，抽象，概括，解決實際問題的道路。

一、講解實例，使學(xué)生獲得有關(guān)極限概念的感性認識。

為了使學(xué)生更好的理解極限的概念，我們先從以下2個例子來講解。

例1：如何求圓的面積？

解題思路：用圓內(nèi)接正n邊形的面積去逼近圓的面積。

設(shè)有一圓，其面積記為s，做它的正四邊形，正八邊形……正n邊形，記做s4，s8……sn，當(dāng)圓內(nèi)的正多邊形的邊數(shù)越來越多的時候，它的面積就越近似于圓的面積，即當(dāng)n∞時，sns。

這個例題是非常有名的“劉徽割圓術(shù)”，雖然當(dāng)時沒有嚴(yán)格的極限定義，但是他的這種思想正是體現(xiàn)了極限的概念。

例2：求變速直線運動的瞬時速度。

對這個實例應(yīng)著重弄清兩個問題：第一，要求瞬時速度，為什么要先考慮平均速度？第二，為什么要規(guī)定瞬時速度是平均速度的極限？在瞬時速度的概念提出之前，已經(jīng)有了勻速直線運動的速度概念及其計算方法，引出平均速度只要是將非勻速直線運動轉(zhuǎn)化為迅速運動來處理，從而求出瞬時速度的近似值。

（s―位置的改變量；t―時間的改變量）

表示物體在t時間內(nèi)的平均速度，它隨t的變化而變

化，當(dāng)時間改變量t越來越小時，位置的改變量s也越來越小，

而平均速度 越來越接近一定值，即平均速度作為瞬時速度的

近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度還不是t時刻的速度，而只是它的一個近似值。要把這個近似值轉(zhuǎn)化為精確值，即求出了t時刻的速度，只有縮小t，當(dāng)t0時，v（t）v平均，也就是說t越變越小，v平均與v（t）就越接近，有近似值而飛躍到了精確值。

重點講清這個事例后，從而使學(xué)生認識到研究非均勻變化的變化問題確實是世界中存在的普遍問題，而這類問題的解決都歸納為求極限的問題。

二、根據(jù)實例給出函數(shù)極限的定義

通過上面兩個例子，我們可以將它們看作是一個函數(shù)。如果給定一個函數(shù)y＝f（x），其函數(shù)值y會隨著自變量x的變化而變化，若當(dāng)自變量無限接近于某個“目標(biāo)”，這個目標(biāo)可以是任意一個確定的常數(shù)x0，也可以是＋∞或－∞。此時，函數(shù)值y無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）以A為極限，下面就以例題并結(jié)合它的數(shù)值表充分說明函數(shù)的極限。

例3：考察當(dāng)x3時，函數(shù) 的變化。

解：函數(shù) 在（－∞，＋∞）有定義。

設(shè)x從3的左、右側(cè)無限接近于3，即x的取值及對應(yīng)的函數(shù)表如下：

x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …

f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …

數(shù)值表給出后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去從靜態(tài)的有限量來刻畫動態(tài)的無限量，通過直觀的數(shù)據(jù)讓學(xué)生看到，當(dāng)x越來越接近于

3時，也就是我們所說的那個目標(biāo)，函數(shù)值 的值就

無限接近于3，體現(xiàn)了我們最后用近似值代替精確值的思想。那么，由這個例題，教師可以給出極限的定義。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x無限接近于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)A，則稱A為xx0時，函數(shù)f（x）的極限，記作： 或

f（x）A（xx0）。

極限的定義給出以后，教師可以讓學(xué)生根據(jù)極限的定義寫出

例三的極限，即 。

這時，有些同學(xué)可以看到， 的極限值與f（3）的函

數(shù)值相等，這是怎么回事？它會給同學(xué)們一個錯誤的概念，求極限就是在求函數(shù)值，雖然在后面我們會講到某些函數(shù)求極限是靠函數(shù)值求出來的，但是這二者之間沒有任何關(guān)系。

例如，求 ，如圖所

示，當(dāng)x＝1， 無意義，所

以函數(shù)值是不存在的，而當(dāng)x1時，從圖象上可以看出

，所以說，極限是否存在與這點有沒有函數(shù)值沒有

任何關(guān)系。

參考文獻

1 侯風(fēng)波. 高等數(shù)學(xué)（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8

篇(5)

關(guān)鍵詞：區(qū)域 域 開域 閉域

在學(xué)習(xí)“多元函數(shù)微積分”或者“復(fù)變函數(shù)”時都要先學(xué)習(xí)平面點集的一些基本概念。也就是將R1中的區(qū)間、開區(qū)間、閉區(qū)間等概念推廣到R2中。下面是同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編《高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊》中給出的關(guān)于平面點集的幾個概念的定義。

開集：如果點集E 的點都是E 的內(nèi)點， 則稱E為開集。

閉集：如果點集E的邊界？墜E？奐E，則稱E為閉集。

開集的例子： E={（x， y）|1

閉集的例子： E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

集合{（x， y）|1

連通集： 如果點集E內(nèi)任何兩點，都可用折線聯(lián)結(jié)起來，且該折線上的點都屬于E，則稱E為連通集。

區(qū)域（或開區(qū)域）： 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。例如：E={（x， y）|1

閉區(qū)域： 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域。例如E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

國內(nèi)出版的其他《高等數(shù)學(xué)》《微積分》和《復(fù)變函數(shù)》的教材中關(guān)于這幾個概念的定義都基本相同。根據(jù)上述定義不難發(fā)現(xiàn)，R1中的開區(qū)間、閉區(qū)間在R2中分別與區(qū)域（開區(qū)域）、閉區(qū)域相對應(yīng)，但是R1中的區(qū)間在R2中沒有與之對應(yīng)的概念。我們可以說開區(qū)間和閉區(qū)間都是一種區(qū)間，但卻不能說開區(qū)域和閉區(qū)域都是一種區(qū)域。因為區(qū)域和開區(qū)域是同一個概念，所以區(qū)域不是開區(qū)域和閉區(qū)域的屬概念，而區(qū)間卻是開區(qū)間和閉區(qū)間的屬概念。

查閱英文原版教材發(fā)現(xiàn)英文版的《微積分》及《復(fù)變函數(shù)》教材中關(guān)于平面點集的概念體系與國內(nèi)現(xiàn)行教材有差異。下面是美國James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用（英文版·第7版）》中給出的關(guān)于平面點集的幾個概念的定義：

A set is open if it contains none of its boundary points. It is left as an exercise to show that a set is open if and only if each of its points is an interior point.

A set is closed if it contains all of its boundary points.

An open set that is connected is called a domain.

A domain together with some， none， or all its boundary points is referred to as a region.

從上面的定義可以看出，“開集（open set）”和“閉集（closed set）”與國內(nèi)教材是一致的。與“domain”對應(yīng)的是“區(qū)域”，但是英文教材中多了一個“region”，它是“open region”和“closed region”的屬概念。如果按照國內(nèi)教材現(xiàn)行的概念體系，沒有與“region”對應(yīng)的中文術(shù)語。在上述英文版教材的中文版中勉強生造了一個術(shù)語“帶邊區(qū)域”來翻譯“region”，我認為翻譯得很不恰當(dāng)，因為國內(nèi)教材的概念體系與國外教材的概念體系有沖突，只有將國內(nèi)教材中的個別概念重新定義和命名，才能找到好的翻譯，下面是我的修改建議：

1.廢除“區(qū)域”的別名“開區(qū)域”。

2.在“區(qū)域”的基礎(chǔ)上定義一個新的概念“域”，與英文中的“region”對應(yīng)，定義和英文教材中相同：一個區(qū)域加上某些、或者不加、或者加上全部的邊界點形成的點集稱為域。

3.再定義“開域”和“閉域”：一個區(qū)域不加任何邊界點即區(qū)域自身叫做開域，因此開域與區(qū)域的外延相同，開域成了區(qū)域的新的別名。一個區(qū)域加上全部的邊界點形成的點集稱為閉域。域是開域和閉域的屬概念。

按上面的方法修改之后，中文教材中的概念體系就和英文教材中的概念體系完全一致了，“region”也就有了更好的譯名：“域”。現(xiàn)代數(shù)學(xué)本來就是從國外引進，所以在教材的編寫上與國際接軌無可厚非。而且比較關(guān)于平面點集這部分內(nèi)容的中外教材，英文教材的概念體系邏輯性更強。有跟“區(qū)間”（interval）對應(yīng)的概念“域”（region），便于從一元函數(shù)微積分過渡到多元函數(shù)微積分。

最后簡單介紹一下這幾個概念之間的關(guān)系以供教學(xué)參考：

1.開集與閉集不是矛盾關(guān)系而是交叉關(guān)系，因為整個平面R2既是開集又是閉集。所以如果把平面點集分為開集、閉集和既不開也不閉的點集的分類是不科學(xué)的，因為科學(xué)的分類不允許有重復(fù)。開集和閉集的關(guān)系可用下圖表示：

■

2.區(qū)域（開域）和閉域的關(guān)系也跟開集和閉集的關(guān)系一樣是交叉關(guān)系，因為整個平面R2既是開域又是閉域。區(qū)域（開域）和閉域的關(guān)系也用圖形來表示：

■

參考文獻：

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版 下冊）.北京： 高等教育出版社， 2007.

[2] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第二版）.北京： 高等教育出版社，1988.

[3] Wilfred Kaplan.高等微積分學(xué)（第五版 英文版）.北京： 電子工業(yè)出版社， 2004.

[4] James Ward Brown， Ruel V. Churchill .復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用（英文版·第7版）.北京： 機械工業(yè)出版社， 2004.

篇(6)

隨著計算機的普及，數(shù)學(xué)進入了許多以往不曾涉及的領(lǐng)域。原來大學(xué)課程中只作定性分析的學(xué)科，現(xiàn)在開始了定量分析，如經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)、生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)等。這些學(xué)科與數(shù)學(xué)相互交叉，大量的新學(xué)科紛紛出現(xiàn)，數(shù)學(xué)不再被理工科學(xué)生獨享，更多的文科生加入到這個學(xué)科中來。

一、重視高等數(shù)學(xué)概念的鞏固

數(shù)學(xué)概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的明確性和嚴(yán)密性。在高等數(shù)學(xué)中，諸如"函數(shù)"、"極限"、"積分"這樣一些概念的定義，都是為了正確地規(guī)定數(shù)學(xué)中所使用的術(shù)語的含義。人們就是充分運用了數(shù)學(xué)概念的作用，有效地從數(shù)和量的角度對事物進行分類，從而展開數(shù)學(xué)思維活動和形成數(shù)學(xué)思想與方法的。數(shù)學(xué)概念寥寥數(shù)語就包含了豐富復(fù)雜的思想內(nèi)容，而將它與既有明確性又有嚴(yán)密性的其他概念結(jié)合起來，又進一步創(chuàng)造出新的概念，反復(fù)地這樣做，逐步創(chuàng)造出含義越來越豐富的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)概念的一個基本特點是具有抽象的形式化。函數(shù)概念的形成過程就可以說明這一點。盡管"函數(shù)"的樸素觀念，幾乎是與數(shù)學(xué)本身同時出現(xiàn)的，表現(xiàn)在研究物體的大小以及位置關(guān)系時，自然就碰到了通常函數(shù)關(guān)系的那種數(shù)量關(guān)系。然而，作為數(shù)學(xué)研究對象的函數(shù)概念，直到17世紀(jì)末才由萊布尼茲引入。后來人類經(jīng)過多次抽象化，函數(shù)概念才逐步形成今天的面貌。考察這個全過程，數(shù)學(xué)概念的抽象性的特點就變得一目了然了。最初人類把函數(shù)只是當(dāng)作"冪"的同義語，到萊布尼茲才把"凡是與曲線的點有關(guān)的量"稱為函數(shù)。

鞏固概念是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念后，及時進行復(fù)述，以加深對概念的印象；其次應(yīng)重視在發(fā)展中鞏固；第三是通過概念的應(yīng)用來鞏固。概念的應(yīng)用要注意遞進的過程，即由初步的、簡單的應(yīng)用，逐步發(fā)展到較復(fù)雜的應(yīng)用。要注意引導(dǎo)學(xué)生在判斷、推理、證明中運用概念，在日常生活、生產(chǎn)實踐中運用概念，以加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。反映在具體概念的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考分析以下幾個問題：（1）新概念是怎樣引進的，它的實際背景和現(xiàn)實模型是什么？（2）新概念的內(nèi)涵是什么，外延有哪些，它和已學(xué)過的舊概念有何內(nèi)在聯(lián)系？（3）怎樣判斷某一個對象是否合乎定義的要求，怎樣列舉不符合定義要求的反例？（4）利用新概念可以解決什么問題？（5）條件許可的話，還可以進一步分析新概念為什么采用這樣的定義，能否改變定義項？如在講到一元函數(shù)微分概念時，可做以下分析：在數(shù)學(xué)中給出（界定）一個概念（定義），接著就應(yīng)該討論它的內(nèi)涵和外延。在此，定義之后就應(yīng)該考慮什么樣的函數(shù)是可微函數(shù)？可微函數(shù)具有什么特征（性質(zhì)）？第一個問題若用定義去檢驗判別有點大海撈針的感覺，因為函數(shù)太多了，因此常從第二個問題人手，利用可微函數(shù)的定義討論這類函數(shù)所具有的性質(zhì)，也就是可微函數(shù)的必要條件。接著自然會問：這條件是否又是充分條件呢？若是，就解決了什么樣的函數(shù)可微這個問題。若不是，通過完善條件導(dǎo)出可微定義中的條件，也就解決了第一個問題。

二、重視對數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練

對許多知識淡化了嚴(yán)密的推導(dǎo)過程，并不等于我們對于所有結(jié)論都簡單而直接地拿來。我們把節(jié)省的時間，除了用來訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，還用來對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。例如，定積分的學(xué)習(xí)，單純從計算的角度出發(fā)，在學(xué)習(xí)了不定積分后，只需10分鐘講明"牛頓-萊布尼茲"公式即可。可這樣做，削弱了學(xué)生對定積分的理解，而且"微元法"這一基本的、有實用價值的思想方法將與學(xué)生失之交臂。因此，我們從學(xué)生熟悉的求平面圖形的面積入手，引導(dǎo)學(xué)生體驗領(lǐng)悟微元法，然后通過物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)的實例，加深對微元法的理解。同時，應(yīng)加強基礎(chǔ)學(xué)科交叉、注重素質(zhì)教育。由于高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，因此，要求學(xué)生對一元函數(shù)微積分學(xué)的知識要掌握牢固、扎實，能熟練運用其基本理論和公式計算有關(guān)題目。為此，我們應(yīng)安排的課時較多一些，如在解方程中介紹行列式的知識；在極值的應(yīng)用中結(jié)合管理學(xué)的知識等。在講授例題中注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，鼓勵學(xué)生一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。對課程改革要制定明確的目標(biāo)和詳細的措施，同時制定相關(guān)的規(guī)章制度以保證這些制度的有效執(zhí)行，并對這些措施進行及時總結(jié)和改進。通過這些措施的實施，課程改革才能取得較為明顯的效果。

三、在課堂教學(xué)中加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的手段

1）編寫新的高等數(shù)學(xué)教案。這之中，對其體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容選取、練習(xí)內(nèi)容、形式以及敘述的方式都要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求，特別要重視編寫好緒論和每章開始的概述和末尾的結(jié)束語或小結(jié)。

2）根據(jù)每一教學(xué)內(nèi)容的類型和特點去設(shè)計貫徹數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑。教師要以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)，嘗試采用發(fā)現(xiàn)法、探究法等多種教學(xué)法，充分運用變式教學(xué)，發(fā)揮教師的向?qū)ё饔茫瑒?chuàng)造性地運用技巧，拓展學(xué)生的思維空間。

3）指導(dǎo)學(xué)生做好各章節(jié)的小結(jié)，閱讀有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的參考書或舉辦專題報告會。教師要在充分研究和了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，運用討論法、研究法等鼓勵學(xué)生相互探討、爭論、交流思維方法，相互啟迪，產(chǎn)生共鳴。

篇(7)

1.以高等數(shù)學(xué)符號、概念為背景來設(shè)計試題。

此類題目的命制是在題設(shè)中直接引入了高等數(shù)學(xué)中的某些概念、結(jié)論、運算等，要求學(xué)生能內(nèi)化題目給定的信息，抓住相應(yīng)的關(guān)系和特征，結(jié)合原有的初等知識解決問題。

例1（2009福州）在空間直角坐標(biāo)系中，對其中任何一向量 ，定義范數(shù) ，它滿足以下性質(zhì)： ，當(dāng)且僅當(dāng) 為零向量時，不等式取等號；（2）對任意的實數(shù) ， （注：此處點乘號為普通的乘號）。（3） 。試求解以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，有一個向量 ，下面給出的幾個表達式中，可能表示向量 的范數(shù)的是__（4）___.（把所有正確答案的序號都填上）

（1） （2） （3） （4）

【追根尋源】設(shè)V（F）是數(shù)域F上的線性空間，定義在F上的實值函數(shù)P：V（F）R如果滿足以下條件：

正定性：x0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立；

齊次性：kx=kx；k∈R；

三角不等式：x+yx+y；

則稱此實值函數(shù)P為V（F）上的范數(shù)，給定范數(shù)的線性空間（X，P）為賦范空間。[

【評析】本題以大學(xué)范數(shù)的概念為載體，考查演繹推理，抽象函數(shù)及其應(yīng)用的。該函數(shù)具有一定的抽象性及函數(shù)圖象的不可作出性，因此該函數(shù)的性質(zhì)在理解時也具有很強的抽象性，體現(xiàn)了高考對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的形成過程的考查.考查了學(xué)生的閱讀理解能力、推理論證能力、抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力。

【說明】高斯函數(shù)、小數(shù)函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、分漸近線、凸凹性、整除性環(huán)域、群、封閉性等均可成為此類試題的源泉。

2.以高等數(shù)學(xué)的運算系統(tǒng)為背景來設(shè)計試題

此類題目的命制是以高等數(shù)學(xué)的抽象代數(shù)中的運算系統(tǒng)知識為背景設(shè)計一個陌生的數(shù)學(xué)情景，給出一定容量的新信息，通過閱讀相關(guān)信息，捕捉解題靈感而進行解答的一類新題型。

例2（2011廣東高考）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果 有 ，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個不相交的非空子集， 且 有 有 ，則下列結(jié)論恒成立的是（A）

A. 中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的

B. 中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的

C. 中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的

D. 中每一個關(guān)于乘法都是封閉的

【追根尋源】假定G是一個有代數(shù)運算“+”的非空集合，如果滿足下面條件，那么我們就說G對于代數(shù)運算“+”構(gòu)成群：

（1）結(jié)合律成立：即對于任意 都有（ + ）+ = +（ + ）；

（2）在G中存在一個元素 ，叫做G的單位元，對于任意 ，都有 + = + = ；（3）對于任意 G，在G中存在一個元素 叫做 的逆序元，使得 + = + = ，這里 是一個固定的單位元。

【評析】此題以大學(xué)的群運算為載體，正確理解封閉的含義是解答的關(guān)鍵。試題具有一定的開放性，便于考查學(xué)生對新穎材料的學(xué)習(xí)理解能力、信息處理的解題能力。

【說明】整除性、環(huán)域、群、封閉性常為構(gòu)成此類試題的源泉。

3.以高等數(shù)學(xué)的知識居高鄰下設(shè)計試題

此類試題運用高等數(shù)學(xué)的公式、定理、性質(zhì)或其變式、引申，居高鄰下設(shè)計試題，再利用初等數(shù)學(xué)知識來解決問題。

例3.（2013江西高考）已知函數(shù) ， 為常數(shù)且 。若 滿足 ，但 ，則稱 為函數(shù) 的二階周期點。如果 有兩個二階周期點 ，試確定 的取值范圍。

【追根尋源】不動點原理是高等數(shù)學(xué)上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理。完整的表達：完備的距離空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點.用初等數(shù)學(xué)可以這么理解：連續(xù)映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f（x）=x。

【評析】高等數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)比較靠近，有些概念、結(jié)論只要稍作敘述，就能以中學(xué)數(shù)學(xué)的形式出現(xiàn)。就如本題學(xué)生只要理解函數(shù)f（x）的不動點的定義：不動點是方程f（x）=x的實數(shù)根。本題只要將 的實根 求出，再扣除不動點。此題只是在原來常見的求不動點的題型的基礎(chǔ)上稍微進行了變化。

【說明】格朗日中值定理、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理、根據(jù)同構(gòu)觀點利用“關(guān)系映射反演原則”對數(shù)學(xué)問題進行等價變換和求解、利用射影變換、仿射變換方法構(gòu)造幾何題都常為此類試題的源泉。

4.以中學(xué)數(shù)學(xué)概念、知識的延伸來設(shè)計試題。

高等數(shù)學(xué)所涉及的知識點要比初等數(shù)學(xué)所涉及的多（而且深），大學(xué)的許多內(nèi)容是在中學(xué)知識的基礎(chǔ)上進行引伸、推廣的。所以可以中學(xué)數(shù)學(xué)概念、知識的延伸來設(shè)計試題，而此內(nèi)容正是高等數(shù)學(xué)研究的范疇，此類題能較好地達到考查學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

5.以高等數(shù)學(xué)的思想為背景設(shè)計試題

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，高等數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)的思想、極限的思想、連續(xù)的思想、導(dǎo)數(shù)的思想、微分的思想、積分的思想、級數(shù)的思想等等。此類試題體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法。

例4（2010福建高考）對于具有相同定義域 的函數(shù) 和 ，若存在函數(shù) （ 為常數(shù)），對任給的正數(shù) ，存在相應(yīng)的 ，使得當(dāng) 且 時，總有 則稱直線 為曲線 與 的“分漸近線”。給出定義域均為D= 的四組函數(shù)如下：

① ， ；② ， ；

③ ， ；④ ， 。

其中，曲線 與 存在“分漸近線”的是（C）

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④

【解析】本題從大學(xué)數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是 時， 進行做答。

【說明】初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想存在著直與曲、常與變、有限與無限、間斷與連續(xù)等統(tǒng)一的一面。所以試題的命制還可以以此為著眼點。

對于高觀點下的數(shù)學(xué)試題，絕不是要求教師提前教高等數(shù)學(xué)知識，解決這個問題的關(guān)鍵是如何進行轉(zhuǎn)換和過渡，這就要求教師高屋建瓴地處理數(shù)學(xué)教材，教學(xué)生如何進行知識的正遷移，建構(gòu)出熟悉和諧的知識體系和問題背景。